Счетчики и каталоги от mail и rambler

При удалении счетчиков, сайты вылетят из этих каталогов (не из поиска мейла и рамблера) со временем.
Так как они (каталоги) утратили свою актуальность с десяток лет назад, то ничего плохого не случится. Возможно, станет даже лучше.

Удаление и вылет с этих каталогов (все-таки у них есть вес) повлияет на ИКС, ТИЦ, PR и всякую подобную дребедень?

На ТИЦ и PR точно не повлияет, потому что их уже давно нет)) 

Практика показала, что не влияет)) Во всяком случае, настолько, чтобы это было заметно.
Но можете сделать так, как вам посоветовал Maks31.

Поставь счётчик на одну страницу, чтобы был хотя бы один хост в день и не вылетишь из каталога 

Задайтесь вопросом, зачем они вам ?
Если для трафика - то его нет, и можно удалять.
Если для ссылок - то они (панели ЯВМ) есть. Тогда лучше оставить.
Если для статистики посещаемости - то есть Метрика, и она в сотни раз эффективнее. Хотя, на всех моих проектах счетчики и Рамблера и Майл.ру стоят, для сравнения. Пользуюсь очень редко, но пользуюсь. 

У всех своя практика пользования этих рейтингов.
Каталоги давно утратили актуальность. Статистика их даром не нужна.
Однако? Никуда не делись. Переходов с них нет, а ссылки — есть. Ну и нужны ли ссылки — в принципе? А не с рамблер-майл — в частности.

Ссылки (активные) с Рамблер не индексируются, с Mail.ru — индексируются. Авторитетности участнику рейтингов — прибавляют. Хоть и незначительно. Для «молодых» сайтов — полезно, для «пожилых» — погоды не делают, но и «хлеба не просят».

Я лично оставил практику регистрации и участия на означенных площадках. Если не мешают.