Смена дизайна сайта. Каково влияние на озиции в поисковиках?

Да вообще то не влияет дизайн, только если урлы сменились, но у вас видимо все как раньше

Ссылки, каталоги и т.п. - все точно осталось как прежде.
Единственный момент, используются фреймворки(bootstrap, juqery и т.п.), которые также используются на втором нашем сайте(схожей, но не идентичной тематики). По самой верстке дизайны полностью отличаются.
Возможно, что Яндекс посчитал сайт аффилированным, хотя до смены дизайна с 2013г не было проблем?

Это вряд ли если тесты и контакты разные

У меня проект за 2,5 года по ходу роста 3 раза изменил дизайн, 1 раз полностью сменил всю структуру и 1 раз сменил домен. И это не было болезненным. Максимум в течение месяца провисала выдача в поиске, что-то там менялось, но общая картина остается и улучшается. Главное делать все как советуют. Например, если меняются адреса, делайте 301 редирект на новые. Смотрите чтобы структура страницы была такой же, а именно не менялись мета теги, контент, title, теги h1 и h2, оставались атрибуты alt у картинок. По сути поисковикам не виден ваш дизайн, они видят эти теги и текст.
Дизайн влияет только на пользователей, и, если он станет удобнее и красивее предыдущего, это увеличит поведенческий фактор (время просмотра, действия на сайте, глубину просмотра, клики), вот на это и ориентируются поисковики.

все вернется

Ну от смены дизайна меняется пф) больше активности становится. Наверно все так и скорее всего

Если теги заголовков H1-H6 и метатеги, alt к картинкам адреса страниц остались прежними, то все вернется

Редизайн делали на многих сайтах. Обычно никаких падений, а наоборот - рост позиций вместе с ростом ПФ.
Хотя один раз был неудачный дизайн - позиции и ПФ серьезно упали. Было решено снова переделать дизайн - в итоге рост выше прежних позиций.
Сейчас очень много внимания уделяют ПФ и отказам